Lo único que necesitas es tener un dominio registrado, no es necesario contratar un servidor ya que el blog seguirá alojado en los servidores de Google y podrás administrarlo como lo haces normalmente desde el panel de Blogger.
Actualización: el tutorial publicado en este post ya no funciona por unos cambios de Blogger… ahora el tutorial que funciona se encuentra aquí en el Foro de Ayuda: Dominio en Blogger, tutorial paso a paso con imágenes.
Una vez que se hacen los cambios es necesario esperar algunas horas (pueden ser hasta 48) para que los cambios en los DNS se propaguen por todos los servidores de internet. A veces cambiando los DNS de nuestro propio equipo o router podemos ver los cambios realizados de forma más rápida, los mejores DNS para configurar son los de Google 8.8.8.8 y 8.8.4.4, generalmente se actualizan más rápido que los que forecen los ISP.
También existen herramientas como estas para monitorear la propagación de los DNS.